HIMPUNAN
1) Pengertian/defenisi Himpunan (set)
• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Notasi Himpunan
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , ,
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis.
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks.
a) Subhimpunan
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.
{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.
b) Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
2) Cara Penyajian Himpunan
a. Enumerasi
Contoh 1:
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
A : x merupakan anggota himpunan A;Îx
A : x bukan merupakan anggota himpunan A.Ïx
Contoh 2:
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 * A
5 * B
RÎ{a, b, c}
RÏc
KÎ{}
RÏ{}
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
P1Îa
P2Ïa
P2ÎP1
P3ÏP1
P3ÎP2
b. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
c. Notasi Pembentuk Himpunan
syarat yang harus dipenuhi oleh x }úNotasi: { x
Contoh 1.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x * P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
d. Diagram Venn
Contoh 2.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
3) Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
êA ê• Notasi: n(A) atau
Contoh :
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
= 8½B½atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka
= 5½T½(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka
1) Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
2) Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .
4) Himpunan Kosong
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
atau {}Æ• Notasi :
Contoh :
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
}Æ• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {
}}Æ, {Æ• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {
} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.Æ• {
5) Himpunan Bagian (Subset)
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
BÍ• Notasi: A
• Diagram Venn:
Contoh :
{1, 2, 3, 4, 5}Í(i) { 1, 2, 3}
{1, 2, 3}Í(ii) {1, 2, 3}
(iii) N * Z * R * C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 0 } dan³, y ³4, x
B = { (x, y) | 2x + y < 0 }, maka B * A.³ 0 dan y ³4, x
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A * A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( * * A).
CÍ C, maka A Í B dan B Í(c) Jika A
• * * A dan A * A, maka * dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
adalah improper subset dari A.ÆContoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan
BÌ B berbeda dengan A Í• A
B.¹ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A Ì(i) A
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.Í(ii) A
6) Himpunan yang Sama
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
B.¹• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A
AÍ B dan B Í A «• Notasi : A = B
Contoh :
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
B¹(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
7) Himpunan yang Ekivalen
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
½B½ = ½A½ «• Notasi : A ~ B
Contoh :
= 4½B½ = ½A½Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab
8) Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
• Notasi : A // B
• Diagram Venn:
Contoh:
Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
9) Himpunan Kuasa
• Himpunan Kuasa (Power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A.termasuk himpunan kosong dan himpunan A
• Notasi : P(A) atau 2A
= 2m.½P(A)½ = m, maka ½A½• Jika
Contoh 1:
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { *, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 2:
}}.Æ, {Æ}) = {Æ} adalah P({Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ) = {ÆHimpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(
10) Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
B }Î A dan x Î x | B = { x Ç• Notasi : A
Contoh :
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
B = {4, 10}Çmaka A
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A * B = *.
Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
B }Î A atau x Î x | B = { x È• Notasi : A
Contoh :
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A * B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A * * = A
c. Komplemen (complement)
A }Ï U, x Î x |• Notasi : = { x
Contoh 1:
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 * P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 2 : Misalkan;
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
B)È (A Ç B) atau E Ç (E È A) Ç (E à(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri”
DÇ C Ç A à(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
à(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
d. Selisih (difference)
Ç B } = A Ï A dan x Î x |• Notasi : A – B = { x
Contoh :
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = *
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
B)È B = (A Å• Notasi: A (B – A)È B) = (A – B) Ç– (A
Contoh 1:
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A * B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 2 : Misalkan;
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
QÇ(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P
QÅ(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P
Q)È(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
A (hukum komutatif)Å B = B Å(a) A
C ) (hukum asosiatif)Å (B Å C = A Å B ) Å(b) (A
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
B }Î A dan b Î a ½ B = {(a, b) ´• Notasi: A
Contoh 1:
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }´C
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
B = himpunan semua titik di bidang datar´A
Catatan:
.½B½ . ½A½ = ½ B´A ½1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
(b, a).¹2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
A dengan syarat A atau B tidak kosong.´ B ¹ B ´3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A
D.´ C ¹ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ´Pada Contoh 20(i) di atas, D
Æ A = ´ B = B ´, maka A Æ atau B = Æ4. Jika A =
Contoh 2 : Misalkan;
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.× = 4 ½B½×½A½ = ½ B´A ½
Contoh 3: Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
g. Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c d e f g
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
Operasi gabungan setara dengan A or B
Operasi irisan setara dengan A and B
Operasi komplemen AC setara dengan not A
