Sabtu, 30 Juli 2011

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

              FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS


A. Fungsi dan Jenis-jenisnya
1. Pengertian Fungsi
B.Î A dipasangkan dengan tepat satu y ÎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke Himpunan B dalam hal ini setiap x
B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A
Mis.
A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d }
b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}
c. range adalah { 2, 3 }
2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:A
A B
b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A dan a1 ≠ a2, maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).Î B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ®Fungsi f : A
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A
B. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x)
3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)
4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)
Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x)
g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)
g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1
g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.
Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1®x = 1
f(2) = 2 + 1®x = 2
f(t) = t + 1®x = t
jika x diganti dengan g(x), diperoleh
f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.
Dengan cara yang serupa, diperoleh
g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan
a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2)
Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.
a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu
(f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x – 7)
= 3(2x – 7) + 5
= 6x – 21 + 5
= 6x – 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2
b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1
Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1)
= 3(-1) + 5
= 2
2) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainya
a) Cara pertama
(g o f)(x) = g9f(x))
= g(3x + 5)
= 2(3x + 5) – 7
= 6x + 10 – 7
= 6x + 3
Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9
b) Cara kedua
(g o f)(x) = g9f(-2))
= g(3(-2) + 5)
= g(-1)
= 2(-1) – 7
= - 9
Jadi, (g o f)(-2) = - 9
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu
(f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
Bukti :
Misalkan diketahui fungsi-fungsi
f(x) = 5x – 4
g(x) = 2x + 8
h(x) = x2
Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini .
a) (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x + 8)
= 5(2x + 8) – 4
= 10x + 36
b) (g o f )(x) = g(f(x))
= g(5x – 4)
= 2(5x – 4) + 8
= 10x – 8 + 8
=10x
Sehingga terbukti (f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu.
((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
Bukti :
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 – 6x + 7
h(x) = x - 2
Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini .
a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x – 2) o f)
= (((x-2)2 – 6(x-2) + 7) o f)
= ((x2-4x+4-6x+12+7) o f)
= (x2-10x+23) o f)
= (f(x))2-10 f(x)+23
= (2x+1)2 – 10(2x+1) + 23
= 4x2+4x+1-20x-10+23
= 4x2-16x+14
b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x)
= (g o (h(2x+1))
= (g o ((2x+1)-2)
= (g o (2x-1))
= (2x-1)2-6(2x-1)+7
= 4x2 -4x+1-12x+6+7
= 4x2-16x+14
Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Bukti :
Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = x
a) (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= x2 -3x +2
b) (I o f)(x) = I(f(x)
= I(x2 -3x +2)
= x2 -3x +2
Soal :
R. jika g(x) = x2 – 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).® R dan g : R ®1) Diketahui fungsi f: R
Jawab :
Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x
(f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x
(f(x))2 = 4x2 + 12x + 9
(f(x))2 = (2x + 3)2
F(x) = 2x + 3
Jadi f(x) = 2x + 3
R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).® R dan g : R ®2) Diketahui fungsi f: R
Jawab:
(f o gf))(x)= 5x + 7
f(g(x)) = 5x + 7
f(x + 2) = 5x + 7
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas
a) Cara satu :
f(x + 2) = 5x + 7
Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehingga
f(x + 2) = 5x + 7
= 5(x + 2) – 10 + 7
= 5(x + 2) – 3
Karena f(x + 2) = 5(x +2) – 3 maka f(x) = 5x – 3.
Jadi, f(x) 5x – 3
b) Cara dua :
Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.
Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.
x + 2 = x
x = x – 2
Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. dengan demikian diperoleh :
f(x) = 5(x – 2) + 7
= 5x – 10 + 7
= 5x – 3
Jadi, f(x) = 5x – 3.
D. Fungsi Invers ( Notasinya f -1 )
f
A B
f
f -1
f -1(y) = x f(x) = x
A yang dinyatakan dengan® B } maka invers dari fungsi f adalah f -1: B Î A, y Î B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = { (x, y) | x ®Jika fungsi f : A
AÎ B, y Îf -1 = { (x, y) | x
A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).® B memiliki fungsi invers (balikan) f -1 : B ®suatu fungsi f: A
Contoh :
B dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 6, 8} dan f dinyatakan dengan pasangan beruurtan R= {(1, 2 ), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi.®Diketahui fungsi invers f : A
Jawab :
A, yaitu f -1 = { (2,1), (6, 3), (8, 5)}. Dan tampak bahwa f -1 merupakan sebuah relasi yang merupakan fungsi.®Invers fungsi f adalah f -1 : B
1. Menentukan Invers Suatu Fungsi
Syaratnya fungsi tersebut bijektif
Langkah-langkahnya :
a) mengubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(x), karena x = f -1(y) maka kita akan memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y)
b) setelah memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y), ganti variable y dengan variable x sehingga akan memperoleh f -1 (x) yagn sudah dalam variable.
Contoh :
Tentukan rumus invers dari fungsi-fungsi berikut ini .
a) f(x) = 5x + 2
b) f(x) =
Jawab :
a) y = f(x)
y = 5x +2
5x = y – 2
x =
f -1 =
Sehingga f -1 (x) =
b) f(x) =
y = f(x)
y =
xy + 3y = 3 – 4x
4x + xy = 3 – 3y
(4 + y) x = 3 – 3y
x =
f -1(y) =
f -1(x) =
2. Hubungan Invers dengan Komposisi Fungsi
Untuk mengetahui hubungan invers dengan komposisi fungsi, kita perhatikan uraian berikut :
a. f(x) = x + 5
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu ;
y = f(x)
y = x + 5
x = y – 5
f -1 (y) = y – 5
jadi, f -1 (x) = x – 5
1) (f o f -1 )(x) = f(f 1 (x)) = f(x-5) = (x-5) + 5 = x
2) (f -1 o f )(x) = f-1(f(x)) = f(x+5) = (x+5) – 5 = x
Dengan demikian, diperoleh :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) =x
b. f(x) = x2 + 6
y = f(x)
y = x2 + 6
x2 = y – 6
±x =
±f -1 =
6³ ; x ±f -1 (x) =
6³ , untuk x ± 6 maka f -1 (x) = ³Untuk domain f adalah x
Untuk domain f adalah x < 6. oleh karena itu ,³0 maka f -1 (x) = - , untuk x
1) (f o f -1 )(x) = f(f -1)(x)) = f( ) = ( )2 + 6 = (x – 6) + 6
2) (f -1 o f )(x) = f -1(f )(x)) = f -1(x2 +6) = ( ) = = x
Dengan demikian diperoleh,
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x
Dari uraianb di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identities sehingga secara umum dituliskan sebagai berikut :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x = I(x)
3. Domain, Kodomain serta Grafik Fungsi dan Inversnya
Untuk menentukan domain, kodomain dan grafik fungsi inversnya, kita lihat contoh berikut.
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. tentukan
a. Carilah f -1
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers
Jawab.
a. f(x) = 2x + 6
misalkan y = f(x). dengan demikian,
y = 2x +6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
f -1 (y) = ½ y – 3, jadi f -1 (x) = ½ x – 3
y
R}. karena domain dari f -1 (x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah himpunan bilangan real. Digambarkan dalam bidang Cartesius :Îb. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau Df = {x | x
y
6
f(x) = 2x + 6 y = x
-3 0 6 x
-3 f -1(x) = ½ x – 3
E. Invers Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g merupakan fungsi maka komposisi fungsi-fungsi itu adalah (f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x)).
Invers dari komposisi didefinisikan sebagai berikut.
Jika u dan v merupakan komposisi dari fungsi f dan g, yaitu u = f o g dan v = g o f, invers dari fungsi u dan v merupakan komposisi dari invers f dan g yang ditulis
u -1 = (f o g) -1 = g -1 o f -1
v -1 = (g o f) -1 = f -1 o g -1
Lihat diagram panah berikut,
f o g
g f
g -1 f -1
g -1 o f -1
f -1 o g -1
Dari diagram di atas tampak bahwa invers dari fungsi komposisi f o g, yaitu
(f o g) -1 diperoleh dengan memetakan c ke b oleh f -1 , kemudian dilanjutkan dengan memetakan b ke a oleh g -1 . dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut.
(f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1)(x)
Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh invers fungsi komposisi g o f, yaitu,
(g o f) -1 (x) =( f -1 o g -1)(x)
Contoh :
Diberikan fungsi f dan g, yaitu f(x) = 5x +8 dan g(x) = x – 5.
a. tentukan (f o g) -1(x)
b. tentukan (g o f) -1(x)
c. apakah (f o g) -1(0) = (g o f) -1(0)
Jawab :
Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini.
a. Cara 1 :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x – 5)
=5(x – 5) + 8
= 5x – 17
(f o g) -1(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
Misalkan (f o g)(x) = y
y = (f o g)(x)
y = 5x – 17
x =
(f o g) -1(y) =
(f o g) -1(x) =
Jadi, fungsi invers dari (f o g)(x) adalah (f o g) -1(x) =
Cara 2 :
Kita tentukan dulu f -1 (x) dan g -1 (x).
Misalkan y = f(x)
y = f(x)
y = 5x + 8
5x = y – 8
x =
f -1 (y) =
f -1 (x) =
misalkan y = g(x)
y = g(x)
y = x – 5
x = y + 5
g -1 (y) = y + 5
g -1 (x) = x + 5
dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f o g sebagaiberikut.
(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1) (x)
= g -1 o( f -1(x))
= g -1 ( )
= + 5
=
Jadi, fungsi invers dari (f o g) -1(x) =
b. Cara 1 :
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(5x + 8) – 5
= 5x + 3
(g o f) -1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = (g o f)(x)
y = (g o f)(x)
y = 5x +3
x =
(g o f) -1(y) =
(g o f) -1(x) =
jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1(x) =
Cara 2 :
Dari jawaban a, diperoleh f -1 (x) = dan g -1 (x) = x + 5. dengan demikian diperoleh :
(g o f) -1 = (f -1 o g -1)(x)
= f -1( g -1 (x))
= f -1( x + 5)
=
=
Jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1 =
c. Dari jawaban b, diperoleh
(g o f) -1(0) =
=
(f o g) -1(0) =
=
Jadi, (g o f) -1(0 ) ≠ (f o g) -1(0)

3 komentar:

bagus, semoga bermamfaat bagi insan matematika

bagus, semoga bermamfaat bagi insan matematika

orang yang bijak selalu berkata baik sekalipun ia dijahati. tapi terkadang ditemukan orang diperlakukan baik justru menampakkan sebaliknya.

Posting Komentar

Kata-kata yang baik akan memberikan Kebaikan juga. Terima kasih atas kunjungan dan komentar Anda.